Конечная математика Примеры

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.5.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.7

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2.1.8

Умножим $2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Этап 3.2.1.8.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{2 \cdot 5}}{3}$

Этап 3.2.1.8.3

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 \sqrt{10}$ из $2 \sqrt{10}$ .

$\frac{0 - 4 + 10}{3}$

Этап 3.2.3

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4 + 10}{3}$

Этап 3.2.4

Добавим $- 4$ и $10$ .

$\frac{6}{3}$

Этап 4

Разделим $6$ на $3$ .

$2$