Конечная математика Примеры

$y = \sqrt{t^{2} - 2 t} - 3$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{t^{2} - 2 t}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$t^{2} - 2 t \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$t^{2} - 2 t = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} - 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$t \cdot t - 2 t = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t$ .

$t \cdot t + t \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$t (t - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

$t - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 2.5

Приравняем $t - 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $t - 2$ к $0$ .

$t - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$t = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $t (t - 2) = 0$ верно.

$t = 0, 2$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$t < 0$

$0 < t < 2$

$t > 2$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $t < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $t < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $t$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < t < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < t < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 1$

Этап 2.8.2.2

Заменим $t$ на $1$ в исходном неравенстве.

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $t > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $t > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$t = 4$

Этап 2.8.3.2

Заменим $t$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $8$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$t < 0$ Истина

$0 < t < 2$ Ложь

$t > 2$ Истина

$t < 0$ Истина

$0 < t < 2$ Ложь

$t > 2$ Истина

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$t \leq 0$ или $t \geq 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $t$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \leq 0, t \geq 2}$

Этап 4