Конечная математика Примеры

$\frac{5 + 2 i}{2 - 3 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{5 + 2 i}{2 - 3 i}$ на комплексно сопряженное $2 - 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{5 + 2 i}{2 - 3 i} \cdot \frac{2 + 3 i}{2 + 3 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(5 + 2 i) (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(5 + 2 i) (2 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 (2 + 3 i) + 2 i (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (3 i) + 2 i (2 + 3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (3 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 + 5 (3 i) + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{10 + 15 i + 2 i \cdot 2 + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 2 i (3 i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $2 i (3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 i i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 (i^{1} i)}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 (i^{1} i^{1})}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 i^{1 + 1}}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 i^{2}}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i + 6 \cdot - 1}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{10 + 15 i + 4 i - 6}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $6$ из $10$ .

$\frac{4 + 15 i + 4 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $15 i$ и $4 i$ .

$\frac{4 + 19 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(2 - 3 i) (2 + 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 + 19 i}{2 (2 + 3 i) - 3 i (2 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 + 19 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i (2 + 3 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 + 19 i}{2 \cdot 2 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 2 (3 i) - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 3 i \cdot 2 - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 3 i (3 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 6 i - 6 i - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Вычтем $6 i$ из $6 i$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{4 + 19 i}{4 + 9}$

Этап 2.3.4

Добавим $4$ и $9$ .

$\frac{4 + 19 i}{13}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{4 + 19 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{4}{13} + \frac{19 i}{13}$