Конечная математика Примеры

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 1}$ в виде ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ .

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{5 x}$ на $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{5 x}$ на $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Возведем $\sqrt{5 x}$ в степень $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Возведем $\sqrt{5 x}$ в степень $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{5 x}}^{2}$ в виде $5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.5.5

Упростим.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Этап 2.3.1.3.2

Добавим $\sqrt{5 x}$ и $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Этап 3

Решим относительно $2 \sqrt{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{5 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Этап 3.2.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Этап 3.2.3.2

Добавим $7 x$ и $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Этап 3.2.4

Вычтем $5 x$ из $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим правило умножения к $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2.2

Применим правило умножения к $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Найдем экспоненту.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $4$ на $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.7

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.8

Упростим.

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $20 u - 4 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $4 u$ из $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $4 u$ из $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $4 u$ из $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Этап 6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $5 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 6.5.2

Решим $5 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (5 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 5$

Этап 7