Конечная математика Примеры

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.6

Множители $1 + 4 x$ — это $(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , то есть $1 + 4 x$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ встречается $2$ раз.

Этап 2.7

НОК ${(1 + 4 x)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 2.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ умножим на $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ на $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель ${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель ${(1 + 4 x)}^{2}$ из $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(1 + 4 x)}^{2}$ в виде $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2

Развернем $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $4 x$ на $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Этап 4.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Этап 4.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.3.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Этап 4.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $5$ на $1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5.2

Умножим $8$ на $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5.3

Умножим $16$ на $5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Этап 4.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $4 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $80 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 84$ , $b = 40$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 336$ на $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $1680$ из $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $- 80$ в виде $- 1 (80)$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (80)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.7

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Этап 5