Конечная математика Примеры

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Этап 1

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

{(1 + 4 x)}^{2}, 4

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число

1

$1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

4

$4$ есть множители:

2

$2$ и

2

$2$ .

2 \cdot 2

$2 \cdot 2$

Этап 2.5

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

4

$4$

Этап 2.6

Множители

1 + 4 x

$1 + 4 x$ — это

(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , то есть

1 + 4 x

$1 + 4 x$ , умноженный на себя

2

$2$ раз.

(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

(1 + 4 x)

$(1 + 4 x)$ встречается

2

$2$ раз.

Этап 2.7

НОК

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 2.8

Наименьшее общее кратное

LCM

$LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 3

Каждый член в

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ умножим на

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ на

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ в числитель.

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ из

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель.

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.1.4

Перепишем это выражение.

- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.2.2

Умножим

4

$4$ на

- 1

$- 1$ .

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель

4

$4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 {(1 + 4 x)}^{2}

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим

5 {(1 + 4 x)}^{2}

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем

{(1 + 4 x)}^{2}

${(1 + 4 x)}^{2}$ в виде

(1 + 4 x) (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2

Развернем

(1 + 4 x) (1 + 4 x)

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим

1

$1$ на

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим

4 x

$4 x$ на

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Этап 4.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Этап 4.1.3.1.5

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.5.1

Перенесем

x

$x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Этап 4.1.3.1.5.2

Умножим

x

$x$ на

x

$x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Этап 4.1.3.1.6

Умножим

4

$4$ на

4

$4$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Этап 4.1.3.2

Добавим

4 x

$4 x$ и

4 x

$4 x$ .

- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим

5

$5$ на

1

$1$ .

- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5.2

Умножим

8

$8$ на

5

$5$ .

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Этап 4.1.5.3

Умножим

16

$16$ на

5

$5$ .

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Этап 4.2

Поскольку

x

$x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Этап 4.3

Перенесем все члены с

x

$x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

4 x^{2}

$4 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Добавим

80 x^{2}

$80 x^{2}$ и

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

5 + 40 x + 84 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

5 + 40 x + 84 x^{2} = 0

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения

a = 84

$a = 84$ ,

b = 40

$b = 40$ и

c = 5

$c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

x

$x$ .

\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем

40

$40$ в степень

2

$2$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.2

Умножим

- 4 \cdot 84 \cdot 5

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

84

$84$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим

- 336

$- 336$ на

5

$5$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем

1680

$1680$ из

1600

$1600$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем

- 80

$- 80$ в виде

- 1 (80)

$- 1 (80)$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.5

Перепишем

\sqrt{- 1 (80)}

$\sqrt{- 1 (80)}$ в виде

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.6

Перепишем

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ в виде

i

$i$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.7

Перепишем

80

$80$ в виде

4^{2} \cdot 5

$4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.7.1

Вынесем множитель

16

$16$ из

80

$80$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.7.2

Перепишем

16

$16$ в виде

4^{2}

$4^{2}$ .

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.1.9

Перенесем

4

$4$ влево от

i

$i$ .

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Этап 4.6.2

Умножим

2

$2$ на

84

$84$ .

x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Этап 4.6.3

Упростим

\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Этап 5