Конечная математика Примеры

${(2 m + 10)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило умножения к $3 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Этап 1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(5 m)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $5 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Этап 2.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Этап 3

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $25 m^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем ${(2 m + 10)}^{2}$ в виде $(2 m + 10) (2 m + 10)$ .

$(2 m + 10) (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.2

Развернем $(2 m + 10) (2 m + 10)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m + 10) + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Перенесем $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $m$ на $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $10$ на $2$ .

$4 m^{2} + 20 m + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $2$ на $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.1.6

Умножим $10$ на $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $20 m$ и $20 m$ .

$4 m^{2} + 40 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.3

Добавим $4 m^{2}$ и $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 40 m + 100 - 25 m^{2} = 0$

Этап 3.4

Вычтем $25 m^{2}$ из $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 40 m + 100 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12 m^{2} + 40 m + 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12 m^{2}$ .

$- 4 (3 m^{2}) + 40 m + 100 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $40 m$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) + 100 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $100$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 (- 25)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 m$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Запишем $- 10$ как $5$ плюс $- 15$

$- 4 (3 m^{2} + (5 - 15) m - 25) = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (3 m^{2} + 5 m - 15 m - 25) = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 4 ((3 m^{2} + 5 m) - 15 m - 25) = 0$

Этап 4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 4 (m (3 m + 5) - 5 (3 m + 5)) = 0$

Этап 4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 m + 5$ .

$- 4 ((3 m + 5) (m - 5)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 m + 5 = 0$

$m - 5 = 0$

Этап 6

Приравняем $3 m + 5$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 m + 5$ к $0$ .

$3 m + 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 m + 5 = 0$ относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 m = - 5$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 m = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 m = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- 5}{3}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m = - \frac{5}{3}$

Этап 7

Приравняем $m - 5$ к $0$ , затем решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $m - 5$ к $0$ .

$m - 5 = 0$

Этап 7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$m = 5$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$ верно.

$m = - \frac{5}{3}, 5$

Этап 9