Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ к $0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 12 u + 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $11$ , а сумма — $- 12$ .

$- 11, - 1$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Этап 2.1.11.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Этап 2.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Этап 2.1.13

Разложим $10 u + u^{2} - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $10$ .

$- 1, 11$

Этап 2.1.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Этап 2.1.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Этап 2.1.15.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Этап 2.1.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Этап 2.1.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - 11$

Этап 3