Конечная математика Примеры

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$

Этап 1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = - 2 x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.2

Разделим $2$ на $2$ .

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

${(x - 1)}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим ${(- 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x$ .

${(x - 1)}^{2} = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Этап 3.4.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

${(x - 1)}^{2} = 4 x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x - 1)}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.1.3

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Этап 4.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Этап 4.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 1$ плюс $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Этап 4.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Этап 4.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Этап 4.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$ истинным.

$x = - 1$

Этап 6