Конечная математика Примеры

$x^{2} + {(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1$

Этап 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1 - x^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.2

Добавим $\sqrt[3]{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.4

Добавим $\sqrt[3]{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 6.2

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6.3

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 6.3.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 1$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 1]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Этап 8