Конечная математика Примеры

$e^{2 \ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\sqrt{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} > - 3$

Этап 2.1.2

Умножим обе части на $\sqrt{- x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Этап 2.1.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель $\sqrt{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Этап 2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - 3 \sqrt{- x}$

Этап 2.1.4

Решим относительно $\sqrt{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 \sqrt{- x} = 1$ .

$- 3 \sqrt{- x} = 1$

Этап 2.1.4.2

Разделим каждый член $- 3 \sqrt{- x} = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Разделим каждый член $- 3 \sqrt{- x} = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Этап 2.1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Этап 2.1.4.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{- x}$ на $1$ .

$\sqrt{- x} = \frac{1}{- 3}$

Этап 2.1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{- x} = - \frac{1}{3}$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x}}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x}$ в виде ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x)}^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.2.1.2

Упростим.

$- x = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим ${(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Этап 2.3.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- x = 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$- x = \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Этап 2.3.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$- x = \frac{1}{3^{2}}$

Этап 2.3.3.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- x = \frac{1}{9}$

Этап 2.4

Разделим каждый член $- x = \frac{1}{9}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $- x = \frac{1}{9}$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{9}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{1}{9}$

Этап 2.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{9}$ в виде $- \frac{1}{9}$ .

$x = - \frac{1}{9}$

Этап 2.5

Найдем область определения $(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x \geq 0$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 2.5.3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- x} = 0$

Этап 2.5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x}$ в виде ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1

Упростим ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2.2.1.2

Упростим.

$- x = 0^{2}$

Этап 2.5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- x = 0$

Этап 2.5.4.3

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.4.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 2.5.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0)$

Этап 2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{9}$

$- \frac{1}{9} < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 3)}}) + 3 > 0$

Этап 2.7.1.3

Левая часть $3.57735026$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.7.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{9} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{9} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.06$

Этап 2.7.2.2

Заменим $x$ на $- 0.06$ в исходном неравенстве.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 0.06)}}) + 3 > 0$

Этап 2.7.2.3

Левая часть $7.0824829$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.7.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(\frac{1}{\sqrt{- (2)}}) + 3 > 0$

Этап 2.7.3.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{9}$ Истина

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - \frac{1}{9}$ Истина

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{9}$ или $- \frac{1}{9} < x < 0$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x \geq 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- x \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x \leq 0$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- x} = 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- x}$ в виде ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$- x = 0^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- x = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{9}) \cup (- \frac{1}{9}, 0)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 0, x \neq - \frac{1}{9}}$

Этап 8