Конечная математика Примеры

$\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{4 \sin (A) \cdot \cos (A) \cdot \cos (2 A) \cdot \sin (15)}{\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A))}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$

Этап 2

Решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Этап 2.2

Приравняем $\sin (2 A)$ к $0$ , затем решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $\sin (2 A)$ к $0$ .

$\sin (2 A) = 0$

Этап 2.2.2

Решим $\sin (2 A) = 0$ относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$2 A = \arcsin (0)$

Этап 2.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 A = 0$

Этап 2.2.2.3

Разделим каждый член $2 A = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим каждый член $2 A = 0$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.3.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{0}{2}$

Этап 2.2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$A = 0$

Этап 2.2.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 A = 180 - 0$

Этап 2.2.2.5

Решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 A = 180 + 0$

Этап 2.2.2.5.1.2

Добавим $180$ и $0$ .

$2 A = 180$

Этап 2.2.2.5.2

Разделим каждый член $2 A = 180$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 A = 180$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 2.2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{180}{2}$

Этап 2.2.2.5.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{180}{2}$

Этап 2.2.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.2.3.1

Разделим $180$ на $2$ .

$A = 90$

Этап 2.2.2.6

Найдем период $\sin (2 A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 2.2.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 2 |}$

Этап 2.2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{360}{2}$

Этап 2.2.2.6.4

Разделим $360$ на $2$ .

$180$

Этап 2.2.2.7

Период функции $\sin (2 A)$ равен $180$ . Поэтому значения повторяются через каждые $180$ град. в обоих направлениях.

$A = 180 n, 90 + 180 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3

Приравняем $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ к $0$ , затем решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)$ к $0$ .

$\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Этап 2.3.2

Решим $\tan (225) - 2 \sin^{2} (A) = 0$ относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\tan (45) - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Этап 2.3.2.1.1.2

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$1 - 2 \sin^{2} (A) = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Этап 2.3.2.3

Разделим каждый член $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим каждый член $- 2 \sin^{2} (A) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin^{2} (A)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2.3.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (A)$ на $1$ .

$\sin^{2} (A) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 2.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin^{2} (A) = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (A) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.2.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.2.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3.2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.2.5.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.3.2.5.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.3.2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3.2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.3.2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (A) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $A$ .

$\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.2.8

Решим относительно $A$ в $\sin (A) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.3.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $45$ .

$A = 45$

Этап 2.3.2.8.3

$A = 180 - 45$

Этап 2.3.2.8.4

Вычтем $45$ из $180$ .

$A = 135$

Этап 2.3.2.8.5

Найдем период $\sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 2.3.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 2.3.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 2.3.2.8.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 2.3.2.8.6

Период функции $\sin (A)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3.2.9

Решим относительно $A$ в $\sin (A) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $A$ из синуса.

$A = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.3.2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.9.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- 45$ .

$A = - 45$

Этап 2.3.2.9.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $360$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $180$ и найдем решение в третьем квадранте.

$A = 360 + 45 + 180$

Этап 2.3.2.9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.9.4.1

Вычтем $360 °$ из $360 + 45 + 180 °$ .

$A = 360 + 45 + 180 ° - 360 °$

Этап 2.3.2.9.4.2

Результирующий угол $225 °$ является положительным, меньшим $360 °$ и отличается от $360 + 45 + 180$ на полный оборот.

$A = 225 °$

Этап 2.3.2.9.5

Найдем период $\sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 2.3.2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 2.3.2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 2.3.2.9.5.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 2.3.2.9.6

Добавим $360$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.9.6.1

Добавим $360$ к $- 45$ , чтобы найти положительный угол.

$- 45 + 360$

Этап 2.3.2.9.6.2

Вычтем $45$ из $360$ .

$315$

Этап 2.3.2.9.6.3

Перечислим новые углы.

$A = 315$

Этап 2.3.2.9.7

Период функции $\sin (A)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$A = 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3.2.10

Перечислим все решения.

$A = 45 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n, 315 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.3.2.11

Объединим ответы.

$A = 45 + 90 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (2 A) (\tan (225) - 2 \sin^{2} (A)) = 0$ верно.

$A = 180 n, 90 + 180 n, 45 + 90 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $180 n$ и $90 + 180 n$ в $90 n$ .

$A = 90 n, 45 + 90 n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5.2

Объединим ответы.

$A = 45 n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения ― это все значения $A$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${A | A \neq 45 n}$ , для любого целого $n$

Этап 4