Конечная математика Примеры

$\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{z^{2} + 13 z + 36}{z^{3} + 3 z^{2} - 54 z}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$z^{3} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Этап 2

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{3} + 3 z^{2} - 54 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z^{2} - 54 z = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $z$ из $3 z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) - 54 z = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $z$ из $- 54 z$ .

$z \cdot z^{2} + z (3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $z$ из $z \cdot z^{2} + z (3 z)$ .

$z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $z$ из $z (z^{2} + 3 z) + z \cdot - 54$ .

$z (z^{2} + 3 z - 54) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим $z^{2} + 3 z - 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 54$ , а сумма — $3$ .

$- 6, 9$

Этап 2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$z ((z - 6) (z + 9)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$z (z - 6) (z + 9) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z = 0$

$z - 6 = 0$

$z + 9 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $z$ к $0$ .

$z = 0$

Этап 2.4

Приравняем $z - 6$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $z - 6$ к $0$ .

$z - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$z = 6$

Этап 2.5

Приравняем $z + 9$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $z + 9$ к $0$ .

$z + 9 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$z = - 9$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $z (z - 6) (z + 9) = 0$ верно.

$z = 0, 6, - 9$

Этап 3

Область определения ― это все значения $z$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Обозначение построения множества:

${z | z \neq 0, 6, - 9}$

Этап 4