Конечная математика Примеры

$\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[9]{x}}{3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} + \sqrt[9]{x} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\sqrt[9]{x}$ из обеих частей уравнения.

$3 \sqrt[3]{x} = - \sqrt[9]{x}$

Этап 2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.2.1.4

Упростим.

$27 x = {(- \sqrt[9]{x})}^{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим ${(- \sqrt[9]{x})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt[9]{x}$ .

$27 x = {(- 1)}^{3} {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Этап 2.3.3.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$27 x = - {\sqrt[9]{x}}^{3}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем ${\sqrt[9]{x}}^{3}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[9]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{9}}$ .

$27 x = - {(x^{\frac{1}{9}})}^{3}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x = - x^{\frac{1}{9} \cdot 3}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{9}$ и $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3}{9}}$

Этап 2.3.3.1.2.4

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$27 x = - x^{\frac{3 (1)}{9}}$

Этап 2.3.3.1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Этап 2.3.3.1.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$27 x = - x^{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Этап 2.3.3.1.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$27 x = - x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.3.3.1.2.5

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $\sqrt[3]{x}$ .

$27 x = - \sqrt[3]{x}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt[3]{x} = 27 x$ .

$- \sqrt[3]{x} = 27 x$

Этап 2.5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(- \sqrt[3]{x})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим ${(- x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Применим правило умножения к $- x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- x^{1} = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.2.1.4

Упростим.

$- x = {(27 x)}^{3}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим ${(27 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Применим правило умножения к $27 x$ .

$- x = 27^{3} x^{3}$

Этап 2.6.3.1.2

Возведем $27$ в степень $3$ .

$- x = 19683 x^{3}$

Этап 2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вычтем $19683 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- x - 19683 x^{3} = 0$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x - 19683 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Изменим порядок $- x$ и $- 19683 x^{3}$ .

$- 19683 x^{3} - x = 0$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 19683 x^{3}$ .

$- x (19683 x^{2}) - x = 0$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x$ .

$- x (19683 x^{2}) - x \cdot 1 = 0$

Этап 2.7.2.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (19683 x^{2}) - x (1)$ .

$- x (19683 x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.7.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.7.5

Приравняем $19683 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Приравняем $19683 x^{2} + 1$ к $0$ .

$19683 x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.7.5.2

Решим $19683 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$19683 x^{2} = - 1$

Этап 2.7.5.2.2

Разделим каждый член $19683 x^{2} = - 1$ на $19683$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.2.1

Разделим каждый член $19683 x^{2} = - 1$ на $19683$ .

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Этап 2.7.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $19683$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{19683 x^{2}}{19683} = \frac{- 1}{19683}$

Этап 2.7.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{19683}$

Этап 2.7.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{19683}$

Этап 2.7.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$

Этап 2.7.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{19683}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{19683}$ в виде ${(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{19683}}$

Этап 2.7.5.2.4.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $1$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{19683}}$

Этап 2.7.5.2.4.1.3

Вынесем полную степень $81^{2}$ из $19683$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}}$

Этап 2.7.5.2.4.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 1}{81^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{81})}^{2} \frac{1}{3})}$

Этап 2.7.5.2.4.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{81})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{81})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{81})}^{2} \frac{1}{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{i}{81} \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.7.5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.7.5.2.4.6.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.7.5.2.4.7

Умножим $\frac{i}{81} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.4.7.1

Умножим $\frac{i}{81}$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{81 \cdot 3}$

Этап 2.7.5.2.4.7.2

Умножим $81$ на $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Этап 2.7.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Этап 2.7.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Этап 2.7.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Этап 2.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (19683 x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{243}, - \frac{i \sqrt{3}}{243}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4