Конечная математика Примеры

$\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{8} (x^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{0}$

Этап 2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > \sqrt{0}$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| x | > \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | > | 0 |$

Этап 2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| x | > 0$

Этап 2.3

Запишем $| x | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.3.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x > 0$

Этап 2.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.3.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x > 0$

Этап 2.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x > 0 & x \geq 0 \\ - x > 0 & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.4

Найдем пересечение $x > 0$ и $x \geq 0$ .

$x > 0$

Этап 2.5

Разделим каждый член $- x > 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- x > 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x < 0$

Этап 2.6

Найдем объединение решений.

$x < 0$ или $x > 0$

Этап 3

Зададим аргумент в $\log_{2} (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{\log_{8} (x^{2})}{\log_{2} (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\log_{2} (x) = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\log_{2} (x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем уравнение в виде $x = 2^{0}$ .

$x = 2^{0}$

Этап 5.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = 1$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Этап 7