Конечная математика Примеры

${(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Этап 1

Вычтем ${(x - 3)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(y - 6)}^{2} = 9 - {(x - 3)}^{2}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 6 = \pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x - 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Этап 3.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Этап 3.3.5

Добавим $3$ и $3$ .

$y - 6 = \pm \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 6 = \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Этап 4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 6 = - \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4.4

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

$y = - \sqrt{x (- x + 6)} + 6$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (- x + 6)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (- x + 6) \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- x + 6 = 0$

Этап 6.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Приравняем $- x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $- x + 6$ к $0$ .

$- x + 6 = 0$

Этап 6.3.2

Решим $- x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 6$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 6$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (- x + 6) \geq 0$ верно.

$x = 0, 6$

Этап 6.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Этап 6.6.1.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.6.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Этап 6.6.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.6.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.6.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Этап 6.6.3.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 6.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 6$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, 6]$

Обозначение построения множества:

${x | 0 \leq x \leq 6}$

Этап 8