Конечная математика Примеры

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Этап 2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Этап 2.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Этап 2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Этап 2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Этап 2.1.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Этап 2.2

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.10

Объединим решения.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.11

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2.11.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 2.12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.13.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Этап 2.13.1.3

Левая часть $- 3.\overline{6}$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.13.2

Проверим значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.31$

Этап 2.13.2.2

Заменим $x$ на $- 0.31$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Этап 2.13.2.3

Левая часть $1.91580645$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.13.3

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 2.13.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Этап 2.13.3.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.13.4

Проверим значение на интервале $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.4.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.13.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Этап 2.13.4.3

Левая часть $2.75$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.13.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Ложь

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Истина

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Ложь

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Ложь

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Истина

Этап 2.14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ или $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Этап 5