Конечная математика Примеры

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.2.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.5

Добавим $1$ и $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$5 + 7 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.7

Добавим $5$ и $7$ .

$12 - 12$

Этап 2.2.2.1.3.8

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 2.2.2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $p - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Этап 2.2.2.1.5

Разделим $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ на $p - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Этап 2.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $p^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Этап 2.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $p^{3} - p^{2}$ .

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Этап 2.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 p^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Этап 2.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Этап 2.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 p^{2} - 5 p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Этап 2.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Этап 2.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Этап 2.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 p$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Этап 2.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Этап 2.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 p - 12$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Этап 2.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Этап 2.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$p^{2} + 5 p + 12$

Этап 2.2.2.1.6

Запишем $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ в виде набора множителей.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $p - 1$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $p - 1$ к $0$ .

$p - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$p = 1$

Этап 2.5

Приравняем $p^{2} + 5 p + 12$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $p^{2} + 5 p + 12$ к $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.4.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Этап 2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Этап 2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.5.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Этап 2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ верно.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 2.7

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$4 p^{3}$

Этап 2.7.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$4$

Этап 2.8

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ всегда больше $0$ .

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${p | p \in ℝ}$

Этап 4