Конечная математика Примеры

$\frac{12 x^{2} + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{2} + 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{2}$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 x - 2}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) - 2}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x^{2}) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x^{2} + x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + 1 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $1$ как $- 2$ плюс $3$

$\frac{2 (6 x^{2} + (- 2 + 3) x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 ((6 x^{2} - 2 x) + 3 x - 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 (2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1))}{27 x^{3} - 1}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$\frac{2 ((3 x - 1) (2 x + 1))}{27 x^{3} - 1}$

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{27 x^{3} - 1}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{{(3 x)}^{3} - 1^{3}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1^{2})}$

Этап 2.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 x - 1) (2 x + 1)}{(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 x + 1)}{9 x^{2} + 3 x + 1}$