Конечная математика Примеры

$\frac{\frac{\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12}}{12 y^{2} - 25 y + 12}}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12}}{12 y^{2} - 25 y + 12} \cdot \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{12 y^{2} - 7 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 y$ .

$\frac{12 y^{2} - 7 (y) - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 7$ как $9$ плюс $- 16$

$\frac{12 y^{2} + (9 - 16) y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 y^{2} + 9 y - 16 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(12 y^{2} + 9 y) - 16 y - 12}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 y (4 y + 3) - 4 (4 y + 3)}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y + 3$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 25 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot 12 = 144$ , а сумма — $b = 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $25$ из $25 y$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 25 (y) + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4.1.2

Запишем $25$ как $9$ плюс $16$

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + (9 + 16) y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{12 y^{2} + 9 y + 16 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(12 y^{2} + 9 y) + 16 y + 12} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{3 y (4 y + 3) + 4 (4 y + 3)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y + 3$ .

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(4 y + 3) (3 y + 4)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 5

Сократим общий множитель $4 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 y + 3) (3 y - 4)}{(4 y + 3) (3 y + 4)} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 12 \cdot 12 = 144$ , а сумма — $b = - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 y$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 25 (y) + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6.1.2

Запишем $- 25$ как $- 9$ плюс $- 16$

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} + (- 9 - 16) y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{12 y^{2} - 9 y - 16 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(12 y^{2} - 9 y) - 16 y + 12} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{3 y (4 y - 3) - 4 (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 y - 3$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(4 y - 3) (3 y - 4)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $3 y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $3 y - 4$ из $(4 y - 3) (3 y - 4)$ .

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(3 y - 4) (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y - 4}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{(3 y - 4) (4 y - 3)} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 7.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{1}{4 y - 3} \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{3 y + 4}$ на $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{16 y^{2} - 24 y + 9}$

Этап 8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $16 y^{2}$ в виде ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 24 y + 9}$

Этап 8.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 24 y + 3^{2}}$

Этап 8.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$24 y = 2 \cdot (4 y) \cdot 3$

Этап 8.4

Перепишем многочлен.

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y)}^{2} - 2 \cdot (4 y) \cdot 3 + 3^{2}}$

Этап 8.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 4 y$ и $b = 3$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) (4 y - 3)} \cdot \frac{1}{{(4 y - 3)}^{2}}$

Этап 9

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) (4 y - 3) {(4 y - 3)}^{2}}$

Этап 10

Умножим $4 y - 3$ на ${(4 y - 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем ${(4 y - 3)}^{2}$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) ({(4 y - 3)}^{2} (4 y - 3))}$

Этап 10.2

Умножим ${(4 y - 3)}^{2}$ на $4 y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Возведем $4 y - 3$ в степень $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) ({(4 y - 3)}^{2} {(4 y - 3)}^{1})}$

Этап 10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{2 + 1}}$

Этап 10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{3}}$

Этап 11

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{(3 y + 4) {(4 y - 3)}^{3}}$