Конечная математика Примеры

$\frac{\sqrt[3]{32 a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $32 a^{7} b^{7}$ в виде ${(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot (4 a b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (4) a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 a^{7} b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.3

Вынесем $a^{6}$ за скобки.

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 (a^{6} a) b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.4

Перепишем $a^{6}$ в виде ${(a^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) b^{7}}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.5

Вынесем $b^{6}$ за скобки.

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) (b^{6} b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.6

Перепишем $b^{6}$ в виде ${(b^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3} a) ({(b^{2})}^{3} b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.7

Перенесем $a$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 ({(a^{2})}^{3}) {(b^{2})}^{3} a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.8

Перенесем $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{(2^{3} ({(a^{2})}^{3})) {(b^{2})}^{3} \cdot 4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.9

Перепишем $(2^{3} ({(a^{2})}^{3})) {(b^{2})}^{3}$ в виде ${(2 a^{2} b^{2})}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot 4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.10

Добавим круглые скобки.

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot 4 (a b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.1.11

Добавим круглые скобки.

$\frac{\sqrt[3]{{(2 a^{2} b^{2})}^{3} \cdot (4 a b)}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 2

Умножим $\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ на $\frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}} \cdot \frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ на $\frac{\sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{\sqrt{2 a b} \sqrt{2 a b}}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{2 a b}$ в степень $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1} \sqrt{2 a b}}$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{2 a b}$ в степень $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1} {\sqrt{2 a b}}^{1}}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{\sqrt{2 a b}}^{2}}$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt{2 a b}}^{2}$ в виде $2 a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 a b}$ в виде ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{({(2 a b)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{{(2 a b)}^{1}}$

Этап 3.6.5

Упростим.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{2 a b}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{2 a b}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{a b}$

Этап 5

Сократим общий множитель $a^{2}$ и $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2} b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a b}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $a$ из $a b$ .

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a (b)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{a (a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{a b}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{b}$

Этап 6

Сократим общий множитель $b^{2}$ и $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $b$ из $a b^{2} \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b^{1}}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $b$ из $b^{1}$ .

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{b (a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b})}{b \cdot 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}}{1}$

Этап 6.2.5

Разделим $a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ на $1$ .

$a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$

Этап 7

Умножим $a b \sqrt[3]{4 a b} \sqrt{2 a b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 a b}$ в виде ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a b ({(2 a b)}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{4 a b})$

Этап 7.1.2

Перепишем ${(2 a b)}^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ .

$a b ({(2 a b)}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{4 a b})$

Этап 7.1.3

Перепишем ${(2 a b)}^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} \sqrt[3]{4 a b})$

Этап 7.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 a b}$ в виде ${(4 a b)}^{\frac{1}{3}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} {(4 a b)}^{\frac{1}{3}})$

Этап 7.1.5

Перепишем ${(4 a b)}^{\frac{1}{3}}$ в виде ${(4 a b)}^{\frac{2}{6}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} {(4 a b)}^{\frac{2}{6}})$

Этап 7.1.6

Перепишем ${(4 a b)}^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{{(4 a b)}^{2}}$ .

$a b (\sqrt[6]{{(2 a b)}^{3}} \sqrt[6]{{(4 a b)}^{2}})$

Этап 7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$a b \sqrt[6]{{(2 a b)}^{3} {(4 a b)}^{2}}$

Этап 7.3

Применим правило умножения к $2 a b$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{3} {(4 a b)}^{2}}$

Этап 7.4

Применим правило умножения к $4 a b$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{3} {(4 a)}^{2} b^{2}}$

Этап 7.5

Умножим $b^{3}$ на $b^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $b^{2}$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} (b^{2} b^{3}) {(4 a)}^{2}}$

Этап 7.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{2 + 3} {(4 a)}^{2}}$

Этап 7.5.3

Добавим $2$ и $3$ .

$a b \sqrt[6]{{(2 a)}^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Этап 7.6

Применим правило умножения к $2 a$ .

$a b \sqrt[6]{2^{3} a^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Этап 7.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} {(4 a)}^{2}}$

Этап 7.8

Применим правило умножения к $4 a$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} (4^{2} a^{2})}$

Этап 7.9

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a b \sqrt[6]{8 a^{3} b^{5} \cdot 16 a^{2}}$

Этап 7.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Умножим $16$ на $8$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{3} b^{5} a^{2}}$

Этап 7.10.2

Умножим $a^{3}$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.2.1

Перенесем $a^{2}$ .

$a b \sqrt[6]{128 (a^{2} a^{3}) b^{5}}$

Этап 7.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a b \sqrt[6]{128 a^{2 + 3} b^{5}}$

Этап 7.10.2.3

Добавим $2$ и $3$ .

$a b \sqrt[6]{128 a^{5} b^{5}}$

Этап 8

Перепишем $128 a^{5} b^{5}$ в виде $2^{6} \cdot (2 a^{5} b^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $64$ из $128$ .

$a b \sqrt[6]{64 (2) a^{5} b^{5}}$

Этап 8.2

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 a^{5} b^{5}}$

Этап 8.3

Добавим круглые скобки.

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot 2 (a^{5} b^{5})}$

Этап 8.4

Добавим круглые скобки.

$a b \sqrt[6]{2^{6} \cdot (2 a^{5} b^{5})}$

Этап 9

Вынесем члены из-под знака корня.

$a b (2 \sqrt[6]{2 a^{5} b^{5}})$

Этап 10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 a b \sqrt[6]{2 a^{5} b^{5}}$