Конечная математика Примеры

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 (x) - 3}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$\frac{4 x^{2} + (2 - 6) x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(4 x^{2} + 2 x) - 6 x - 3}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}{8 x^{3} + 1}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{8 x^{3} + 1}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{{(2 x)}^{3} + 1^{3}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (2^{2} x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - (2 x) \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Этап 2.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3)}{(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1)}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x - 3}{4 x^{2} - 2 x + 1}$