Конечная математика Примеры

$\frac{256 x^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $256 x^{2}$ в виде ${(16 x)}^{2}$ .

$\frac{{(16 x)}^{2} - y^{2}}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 16 x$ и $b = y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$

Этап 2

Умножим $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$

Этап 3

Умножим $\frac{(16 x + y) (16 x - y)}{\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}}$ на $\frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt[4]{x} - \sqrt{y}) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}$

Этап 4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x y^{2}} - \sqrt[4]{x y^{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{{(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 (1)}{4}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{x^{\frac{1}{2}} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.1.5

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sqrt{y}}^{2}$ в виде $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y^{1}}$

Этап 5.2.5

Упростим.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$

Этап 6

Умножим $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ на $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y} \cdot \frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x} - y}$ на $\frac{\sqrt{x} + y}{\sqrt{x} + y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{(\sqrt{x} - y) (\sqrt{x} + y)}$

Этап 7.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} y - y \sqrt{x} - y^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - y^{2}}$

Этап 7.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y^{2}}$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

Этап 7.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{\frac{2}{2}} - y^{2}}$

Этап 7.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x^{1} - y^{2}}$

Этап 7.3.5

Упростим.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} + y)}{x - y^{2}}$

Этап 7.4

Сгруппируем $\sqrt{x} + y$ и $\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Этап 8

Развернем $(\sqrt{x} + y) (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}) + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y (\sqrt[4]{x} + \sqrt{y}))}{x - y^{2}}$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt[4]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.1.3

Перепишем $x^{\frac{2}{4}}$ в виде $\sqrt[4]{x^{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2} x^{1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{2 + 1}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.1.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x} \sqrt{y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 9.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (\sqrt[4]{x^{3}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + \sqrt{x y} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 10.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x y}$ в виде ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y \sqrt[4]{x} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 10.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \sqrt{y})}{x - y^{2}}$

Этап 10.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.5

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.6

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1} y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{1 + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.6.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{2 + 1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.6.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7

Перепишем $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{2}} (y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.2

Вынесем множитель $y$ из $y x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y^{\frac{3}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}})}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{\frac{1}{4}}) + y \cdot y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}))}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.3.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ из $y (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y)}{x - y^{2}}$

Этап 10.7.3.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}$ из $(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} + (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) y$ .

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) ((x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y))}{x - y^{2}}$

$\frac{(16 x + y) (16 x - y) (x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{2}}) (x^{\frac{1}{2}} + y)}{x - y^{2}}$