Конечная математика Примеры

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Этап 1

Вычтем $25000$ из обеих частей уравнения.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Этап 2

Упростим $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(1 + r)}^{2}$ в виде $(1 + r) (1 + r)$ .

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(1 + r) (1 + r)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $r$ на $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $r$ на $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $r$ на $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Этап 2.1.3.2

Добавим $r$ и $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Умножим $16000$ на $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Этап 2.1.5.2

Умножим $2$ на $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $25000$ из $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $1000$ из $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1000$ из $32000 r$ .

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $1000$ из $16000 r^{2}$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $1000$ из $- 9000$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $1000$ из $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $1000$ из $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Этап 4

Пусть $u = r$ . Подставим $u$ вместо $r$ для всех.

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок членов.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Этап 5.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ , а сумма — $b = 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $32$ из $32 u$ .

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Этап 5.2.2

Запишем $32$ как $- 4$ плюс $36$

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Этап 5.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Этап 5.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Этап 5.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $u$ на $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Этап 8

Приравняем $4 r - 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $4 r - 1$ к $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $4 r - 1 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 r = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $4 r = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $4 r = 1$ на $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Этап 9

Приравняем $4 r + 9$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $4 r + 9$ к $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Этап 9.2

Решим $4 r + 9 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$4 r = - 9$

Этап 9.2.2

Разделим каждый член $4 r = - 9$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Разделим каждый член $4 r = - 9$ на $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Этап 9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Этап 9.2.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Этап 9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{9}{4}$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ верно.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$