Конечная математика Примеры

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 8$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Этап 4.5

Разобьем дробь $\frac{1 + i}{4}$ на две дроби.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Этап 5.5

Разобьем дробь $\frac{1 - i}{4}$ на две дроби.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$