Конечная математика Примеры

$5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Этап 1

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $5 z^{\frac{13}{5}} - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $5 z^{\frac{13}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) - 31 z^{\frac{8}{5}} + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $- 31 z^{\frac{8}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + 6 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $6 z^{\frac{3}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} (- 31 z^{\frac{5}{5}})$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6 = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $z^{\frac{3}{5}}$ из $z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}}) + z^{\frac{3}{5}} \cdot 6$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 6 = 30$ , а сумма — $b = - 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 31$ из $- 31 z^{\frac{5}{5}}$ .

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 31 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Этап 2.1.2

Запишем $- 31$ как $- 1$ плюс $- 30$

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} + (- 1 - 30) z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}} - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{10}{5}} - 1 z^{\frac{5}{5}}) - 30 z^{\frac{5}{5}} + 6) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$z^{\frac{3}{5}} (z^{\frac{5}{5}} (5 z^{\frac{5}{5}} - 1) - 6 (5 z^{\frac{5}{5}} - 1)) = 0$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 z^{\frac{5}{5}} - 1$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z^{\frac{5}{5}} - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Этап 3

Разделим $5$ на $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z^{\frac{5}{5}} - 6)) = 0$

Этап 4

Разделим $5$ на $5$ .

$z^{\frac{3}{5}} ((5 z - 1) (z - 6)) = 0$

Этап 5

Избавимся от ненужных скобок.

$z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

$5 z - 1 = 0$

$z - 6 = 0$

Этап 7

Приравняем $z^{\frac{3}{5}}$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $z^{\frac{3}{5}}$ к $0$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0$

Этап 7.2

Решим $z^{\frac{3}{5}} = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Упростим ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.1.1.2

Упростим.

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Упростим $0^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Этап 7.2.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Этап 7.2.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$z = 0^{5}$

Этап 7.2.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$z = 0$

Этап 8

Приравняем $5 z - 1$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $5 z - 1$ к $0$ .

$5 z - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $5 z - 1 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 z = 1$

Этап 8.2.2

Разделим каждый член $5 z = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Разделим каждый член $5 z = 1$ на $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 z}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 8.2.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{1}{5}$

Этап 9

Приравняем $z - 6$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $z - 6$ к $0$ .

$z - 6 = 0$

Этап 9.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$z = 6$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $z^{\frac{3}{5}} (5 z - 1) (z - 6) = 0$ верно.

$z = 0, \frac{1}{5}, 6$