Конечная математика Примеры

$x - 4 = \sqrt{9 x + 16}$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{9 x + 16}$ из обеих частей уравнения.

$x - 4 - \sqrt{9 x + 16} = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $- \sqrt{9 x + 16}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 - \sqrt{9 x + 16} = - x$

Этап 2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$- \sqrt{9 x + 16} = - x + 4$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{9 x + 16})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 x + 16}$ в виде ${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Умножим ${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(9 x + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(9 x + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(9 x + 16)}^{1} = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

$9 x + 16 = {(- x + 4)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(- x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(- x + 4)}^{2}$ в виде $(- x + 4) (- x + 4)$ .

$9 x + 16 = (- x + 4) (- x + 4)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(- x + 4) (- x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 16 = - x (- x + 4) + 4 (- x + 4)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 16 = - x (- x) - x \cdot 4 + 4 (- x + 4)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x + 16 = - x (- x) - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x + 16 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 x + 16 = 1 x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$9 x + 16 = x^{2} - x \cdot 4 + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x + 4 (- x) + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x - 4 x + 4 \cdot 4$

Этап 4.3.1.3.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$9 x + 16 = x^{2} - 8 x + 16$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 8 x + 16 = 9 x + 16$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x + 16 - 9 x = 16$

Этап 5.2.2

Вычтем $9 x$ из $- 8 x$ .

$x^{2} - 17 x + 16 = 16$

Этап 5.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 17 x + 16 - 16 = 0$

Этап 5.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 17 x + 16 - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$x^{2} - 17 x + 0 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $x^{2} - 17 x$ и $0$ .

$x^{2} - 17 x = 0$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 17 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 17 x = 0$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 17 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 17 = 0$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 17$ .

$x (x - 17) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 17 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.8

Приравняем $x - 17$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 17$ к $0$ .

$x - 17 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $17$ к обеим частям уравнения.

$x = 17$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 17) = 0$ верно.

$x = 0, 17$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $x - 4 - \sqrt{9 x + 16} = 0$ истинным.

$x = 17$