Конечная математика Примеры

$\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (6)$

Этап 1

Вычтем $\ln (6)$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6) = 0$

Этап 2

Упростим $\ln (x) + \ln (x + 1) - \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 1)) - \ln (6) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$

Этап 3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x (x + 1)}{6})} = e^{0}$

Этап 4

Перепишем $\ln (\frac{x (x + 1)}{6}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x + 1)}{6}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$ .

$\frac{x (x + 1)}{6} = e^{0}$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $6 \frac{x (x + 1)}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{x (x + 1)}{6} = 6 e^{0}$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 1) = 6 e^{0}$

Этап 5.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Этап 5.3.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = 6 e^{0}$

Этап 5.3.1.1.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x = 6 e^{0}$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $6 e^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} + x = 6 \cdot 1$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{2} + x = 6$

Этап 5.4

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$