Конечная математика Примеры

$9 x^{2} - 24 x + 20 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 24$ и $c = 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 20)}}{2 \cdot 9}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 36$ на $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.3

Вычтем $720$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 144$ в виде $- 1 (144)$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (144)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.7

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Этап 3.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.3

Вычтем $720$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 144$ в виде $- 1 (144)$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (144)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.7

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Этап 4.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{4 + 2 i}{3}$

Этап 4.5

Разобьем дробь $\frac{4 + 2 i}{3}$ на две дроби.

$x = \frac{4}{3} + \frac{2 i}{3}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 36 \cdot 20}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 36$ на $20$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 720}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.3

Вычтем $720$ из $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.4

Перепишем $- 144$ в виде $- 1 (144)$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1 \cdot 144}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (144)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{144}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.7

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{24 \pm i \cdot \sqrt{12^{2}}}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{24 \pm i \cdot 12}{2 \cdot 9}$

Этап 5.1.9

Перенесем $12$ влево от $i$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{2 \cdot 9}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{24 \pm 12 i}{18}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{24 \pm 12 i}{18}$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{3}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{4 - 2 i}{3}$

Этап 5.5

Разобьем дробь $\frac{4 - 2 i}{3}$ на две дроби.

$x = \frac{4}{3} + \frac{- 2 i}{3}$

Этап 5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{4}{3} - \frac{2 i}{3}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{4}{3} + \frac{2 i}{3}, \frac{4}{3} - \frac{2 i}{3}$