Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = \frac{2 x^{2} + 15 x + 25}{3 x^{2} - 8 x - 16}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 x^{2} + 15 x + 25 = 0$

Этап 1.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ , а сумма — $b = 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $15$ из $15 x$ .

$2 x^{2} + 15 (x) + 25 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Запишем $15$ как $5$ плюс $10$

$2 x^{2} + (5 + 10) x + 25 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 5 x + 10 x + 25 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} + 5 x) + 10 x + 25 = 0$

Этап 1.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5) = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x + 5) = 0$

Этап 1.2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 1.2.2.3

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 1.2.2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 1.2.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 1.2.2.4

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 1.2.2.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 1.2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 5) (x + 5) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, - 5$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4

Упростим $\frac{2 {(0)}^{2} + 15 (0) + 25}{3 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = \frac{0 + 15 (0) + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $15$ на $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$y = \frac{0 + 25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $0$ и $25$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = \frac{25}{3 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 8 \cdot 0 - 16}$

Этап 2.2.4.2.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = \frac{25}{0 + 0 - 16}$

Этап 2.2.4.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$y = \frac{25}{0 - 16}$

Этап 2.2.4.2.5

Вычтем $16$ из $0$ .

$y = \frac{25}{- 16}$

Этап 2.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{25}{16}$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - \frac{25}{16})$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- \frac{5}{2}, 0), (- 5, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - \frac{25}{16})$

Этап 4