Конечная математика Примеры

$f (x) = (- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15)$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разложим $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 1.2.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 3 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + 3 + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.6

Добавим $- 1$ и $3$ .

$2 + 13 \cdot 1 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.7

Умножим $13$ на $1$ .

$2 + 13 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.8

Добавим $2$ и $13$ .

$15 - 15$

Этап 1.2.2.1.3.9

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 1.2.2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15}{x - 1}$

Этап 1.2.2.1.5

Разделим $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$13 x$

$15$

Этап 1.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$

Этап 1.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 1.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 1.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$

Этап 1.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 2 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$

Этап 1.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 15$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Этап 1.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$13 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Этап 1.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 2 x + 15$

Этап 1.2.2.1.6

Запишем $- x^{3} + 3 x^{2} + 13 x - 15$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (- x^{2} + 2 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$(x - 1) (- x^{2} + 2 (x) + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.1.2

Запишем $2$ как $- 3$ плюс $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 1) (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 1) ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 1) (x (- x - 3) - 5 (- x - 3)) = 0$

Этап 1.2.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x - 5)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Приравняем $- x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $- x - 3$ к $0$ .

$- x - 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $- x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- x = 3$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Разделим $3$ на $- 1$ .

$x = - 3$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (- x - 3) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 1, - 3, 5$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - 0^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = - 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.4

Избавимся от скобок.

$y = - {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.5

Упростим $- {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.5.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 3 \cdot 0 + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 13 (0) - 15$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $13$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 15$

Этап 2.2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 - 15$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 - 15$

Этап 2.2.5.2.3

Вычтем $15$ из $0$ .

$y = - 15$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, - 15)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(1, 0), (- 3, 0), (5, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, - 15)$

Этап 4