Конечная математика Примеры

$f (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 9$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - 2 x^{2} + 9 x + 9$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{2} + 9 x + 9 = 0$ .

$- 2 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = - 2$ , $b = 9$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 9)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 2 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 8 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $8$ на $9$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.3

Добавим $81$ и $72$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $153$ в виде $3^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $153$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 2 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 8 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $8$ на $9$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.3

Добавим $81$ и $72$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $153$ в виде $3^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $153$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 2 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 2 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 8 \cdot 9}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $8$ на $9$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 72}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $81$ и $72$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $153$ в виде $3^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $153$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 9 \pm 3 \sqrt{17}}{- 4}$ .

$x = \frac{9 \pm 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{9 - 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{4}, \frac{9 - 3 \sqrt{17}}{4}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(\frac{9 + 3 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{9 - 3 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 9$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 9 (0) + 9$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 9$

Этап 2.2.3

Упростим $- 2 {(0)}^{2} + 9 (0) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 2 \cdot 0 + 9 (0) + 9$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$y = 0 + 9 (0) + 9$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $9$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 9$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 9$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = 9$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(\frac{9 + 3 \sqrt{17}}{4}, 0), (\frac{9 - 3 \sqrt{17}}{4}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 4