Конечная математика Примеры

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ .

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 x^{3}$ .

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $0.1$ из $- 0.3 x^{2}$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $0.1$ из $- 1.8 x$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $0.1$ из $4$ .

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Этап 1.2.2.1.7

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Этап 1.2.2.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.5

Вычтем $12$ из $8$ .

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.6

Умножим $- 18$ на $2$ .

$- 4 - 36 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.7

Вычтем $36$ из $- 4$ .

$- 40 + 40$

Этап 1.2.2.2.3.8

Добавим $- 40$ и $40$ .

$0$

Этап 1.2.2.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

Этап 1.2.2.2.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

Этап 1.2.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

Этап 1.2.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.2.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.2.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 1.2.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Этап 1.2.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Этап 1.2.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.2.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.2.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

Этап 1.2.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Этап 1.2.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 20 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Этап 1.2.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

Этап 1.2.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 20 x + 40$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

Этап 1.2.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

Этап 1.2.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 20$

Этап 1.2.2.2.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ в виде набора множителей.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Разложим $x^{2} - x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 1.2.2.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Этап 1.2.2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, 5, - 4$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4

Упростим $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $0.1$ на $0$ .

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 0.3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 1.8$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 4$

Этап 2.2.4.2.3

Добавим $0$ и $4$ .

$y = 4$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 4)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 4)$

Этап 4