Конечная математика Примеры

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Этап 1

Запишем $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ в виде уравнения.

$y = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Этап 2

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перегруппируем члены.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Вынесем множитель $10 x$ из $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.2.3

Вынесем множитель $10 x$ из $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Этап 2.2.2.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Этап 2.2.2.7

Разложим $u^{2} - 12 u + 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $11$ , а сумма — $- 12$ .

$- 11, - 1$

Этап 2.2.2.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Этап 2.2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.2.2.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.10.1

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2.2.11

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.11.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.2.2.11.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Этап 2.2.2.11.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Этап 2.2.2.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Этап 2.2.2.13

Разложим $10 u + u^{2} - 11$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.13.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 11$ , а сумма — $10$ .

$- 1, 11$

Этап 2.2.2.13.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Этап 2.2.2.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Этап 2.2.2.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Этап 2.2.2.15

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.15.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Этап 2.2.2.15.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Этап 2.2.2.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Этап 2.2.2.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.2.5

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем ${(x - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим ${(x - 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.2.5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.2.6

Приравняем $x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Приравняем $x + 11$ к $0$ .

$x + 11 = 0$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 2.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - 11$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Этап 3

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 12 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.4

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5

Упростим ${(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5.1.3

Умножим $10$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 - 12 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5.1.5

Умножим $- 12$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 10 \cdot 0 + 11$

Этап 3.2.5.1.6

Умножим $- 10$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 11$

Этап 3.2.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 11$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 11$

Этап 3.2.5.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 11$

Этап 3.2.5.2.4

Добавим $0$ и $11$ .

$y = 11$

Этап 3.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 11)$

Этап 4

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(- 1, 0), (1, 0), (- 11, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 11)$

Этап 5