Конечная математика Примеры

$x^{2} - 16 x + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} - 16 x + {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 - 10 \cdot 0 + 64 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $- 10$ на $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64 = 0$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 16 x + 0 + 0 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$x^{2} - 16 x + 0 + 64 = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $x^{2} - 16 x$ и $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x^{2} - 16 x + 8^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Этап 1.2.2.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = 0$

Этап 1.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 1.2.4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(8, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(0)}^{2} - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 16 \cdot 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 2.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + y^{2} - 10 y + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

$y^{2} - 10 y + 64 = 0$

Этап 2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 64$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.3

Вычтем $256$ из $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.4

Перепишем $- 156$ в виде $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (156)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.7

Перепишем $156$ в виде $2^{2} \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.3

Вычтем $256$ из $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $- 156$ в виде $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (156)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.7

Перепишем $156$ в виде $2^{2} \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Этап 2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 5 + i \sqrt{39}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Вычтем $256$ из $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $- 156$ в виде $- 1 (156)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (156)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{156}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.7

Перепишем $156$ в виде $2^{2} \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $156$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (39)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{39})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{39}}{2}$ .

$y = 5 \pm i \sqrt{39}$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 5 - i \sqrt{39}$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 5 + i \sqrt{39}, 5 - i \sqrt{39}$

Этап 2.3

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(8, 0)$

Точки пересечения с осью y: $Нет$

Этап 4