Конечная математика Примеры

$y = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$ .

$- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + 2 x + 3 = 0$

Этап 1.2.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{3}$ в числитель.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{- x^{2}}{3}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Этап 1.2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 6$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 9)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $36$ и $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Добавим $36$ и $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + 3 \sqrt{2}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 9}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $4$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.3

Добавим $36$ и $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.4

Перепишем $72$ в виде $6^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $72$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$

Этап 1.2.8.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 \sqrt{2}}{- 2}$ .

$x = 3 \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 1.2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - 3 \sqrt{2}$

Этап 1.2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + 3 \sqrt{2}, 3 - 3 \sqrt{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0^{2} + 2 (0) + 3$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$

Этап 2.2.3

Упростим $- \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{2} + 2 (0) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot 0 + 2 (0) + 3$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{3}) + 2 (0) + 3$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$y = 0 + 2 (0) + 3$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 3$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 3$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$y = 3$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 3)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(3 + 3 \sqrt{2}, 0), (3 - 3 \sqrt{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 3)$

Этап 4