Конечная математика Примеры

y = e^{- x} \cdot \ln (x)

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ не определено.

x \leq 0

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ слева, а

e^{- x} \cdot \ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ как

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ справа, то

x = 0

$x = 0$ — вертикальная асимптота.

x = 0

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим

lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем

e^{- x} \ln (x)

$e^{- x} \ln (x)$ в виде

\frac{\ln (x)}{e^{x}}

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Этап 1.3.2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3.2.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 1.3.2.1.3

Поскольку показатель степени

x

$x$ стремится к

\infty

$\infty$ , величина

e^{x}

$e^{x}$ стремится к

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.2.3.2

Производная

\ln (x)

$\ln (x)$ по

x

$x$ равна

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 1.3.2.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Этап 1.3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.3.2.5

Умножим

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ на

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Этап 1.3.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

\frac{1}{x e^{x}}

$\frac{1}{x e^{x}}$ стремится к

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 1.4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

y = 0

$y = 0$

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

x = 0

$x = 0$

Горизонтальные асимптоты:

y = 0

$y = 0$

Вертикальные асимптоты:

x = 0

$x = 0$

Горизонтальные асимптоты:

y = 0

$y = 0$

Этап 2

Найдем точку в

x = 1

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

1

$1$ .

f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Этап 2.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Этап 2.2.3

Натуральный логарифм

1

$1$ равен

0

$0$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Этап 2.2.4

Умножим

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ на

0

$0$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.3

Преобразуем

0

$0$ в десятичное представление.

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в

x = 2

$x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

2

$2$ .

f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Этап 3.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Этап 3.2.3

Объединим

\frac{1}{e^{2}}

$\frac{1}{e^{2}}$ и

\ln (2)

$\ln (2)$ .

f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ:

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Этап 3.3

Преобразуем

\frac{\ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ в десятичное представление.

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

Этап 4

Найдем точку в

x = 3

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

3

$3$ .

f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

3

$3$ .

f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Этап 4.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Этап 4.2.3

Объединим

\frac{1}{e^{3}}

$\frac{1}{e^{3}}$ и

\ln (3)

$\ln (3)$ .

f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ:

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Этап 4.3

Преобразуем

\frac{\ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ в десятичное представление.

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке

x = 0

$x = 0$ и точек

(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Вертикальная асимптота:

x = 0

$x = 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Этап 6