Введите задачу...
Конечная математика Примеры
y=e-x⋅ln(x)y=e−x⋅ln(x)
Этап 1
Этап 1.1
Найдем, где выражение e-x⋅ln(x)e−x⋅ln(x) не определено.
x≤0x≤0
Этап 1.2
Поскольку e-x⋅ln(x)e−x⋅ln(x)→→∞∞ как xx→→00 слева, а e-x⋅ln(x)e−x⋅ln(x)→→-∞−∞ как xx→→00 справа, то x=0x=0 — вертикальная асимптота.
x=0x=0
Этап 1.3
Вычислим limx→∞e-xln(x)limx→∞e−xln(x), чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Этап 1.3.1
Перепишем e-xln(x)e−xln(x) в виде ln(x)exln(x)ex.
limx→∞ln(x)exlimx→∞ln(x)ex
Этап 1.3.2
Применим правило Лопиталя.
Этап 1.3.2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.3.2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
limx→∞ln(x)limx→∞ex
Этап 1.3.2.1.2
Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к ∞.
∞limx→∞ex
Этап 1.3.2.1.3
Поскольку показатель степени x стремится к ∞, величина ex стремится к ∞.
∞∞
Этап 1.3.2.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
∞∞
Этап 1.3.2.2
Поскольку ∞∞ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
limx→∞ln(x)ex=limx→∞ddx[ln(x)]ddx[ex]
Этап 1.3.2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Этап 1.3.2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
limx→∞ddx[ln(x)]ddx[ex]
Этап 1.3.2.3.2
Производная ln(x) по x равна 1x.
limx→∞1xddx[ex]
Этап 1.3.2.3.3
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что ddx[ax] имеет вид axln(a), где a=e.
limx→∞1xex
limx→∞1xex
Этап 1.3.2.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
limx→∞1x⋅1ex
Этап 1.3.2.5
Умножим 1x на 1ex.
limx→∞1xex
limx→∞1xex
Этап 1.3.3
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь 1xex стремится к 0.
0
0
Этап 1.4
Перечислим горизонтальные асимптоты:
y=0
Этап 1.5
У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.
Нет наклонных асимптот
Этап 1.6
Это множество всех асимптот.
Вертикальные асимптоты: x=0
Горизонтальные асимптоты: y=0
Вертикальные асимптоты: x=0
Горизонтальные асимптоты: y=0
Этап 2
Этап 2.1
Заменим в этом выражении переменную x на 1.
f(1)=e-(1)⋅ln(1)
Этап 2.2
Упростим результат.
Этап 2.2.1
Умножим -1 на 1.
f(1)=e-1⋅ln(1)
Этап 2.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(1)=1e⋅ln(1)
Этап 2.2.3
Натуральный логарифм 1 равен 0.
f(1)=1e⋅0
Этап 2.2.4
Умножим 1e на 0.
f(1)=0
Этап 2.2.5
Окончательный ответ: 0.
0
0
Этап 2.3
Преобразуем 0 в десятичное представление.
y=0
y=0
Этап 3
Этап 3.1
Заменим в этом выражении переменную x на 2.
f(2)=e-(2)⋅ln(2)
Этап 3.2
Упростим результат.
Этап 3.2.1
Умножим -1 на 2.
f(2)=e-2⋅ln(2)
Этап 3.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(2)=1e2⋅ln(2)
Этап 3.2.3
Объединим 1e2 и ln(2).
f(2)=ln(2)e2
Этап 3.2.4
Окончательный ответ: ln(2)e2.
ln(2)e2
ln(2)e2
Этап 3.3
Преобразуем ln(2)e2 в десятичное представление.
y=0.09380727
y=0.09380727
Этап 4
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную x на 3.
f(3)=e-(3)⋅ln(3)
Этап 4.2
Упростим результат.
Этап 4.2.1
Умножим -1 на 3.
f(3)=e-3⋅ln(3)
Этап 4.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(3)=1e3⋅ln(3)
Этап 4.2.3
Объединим 1e3 и ln(3).
f(3)=ln(3)e3
Этап 4.2.4
Окончательный ответ: ln(3)e3.
ln(3)e3
ln(3)e3
Этап 4.3
Преобразуем ln(3)e3 в десятичное представление.
y=0.05469668
y=0.05469668
Этап 5
График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке x=0 и точек (1,0),(2,0.09380727),(3,0.05469668).
Вертикальная асимптота: x=0
xy1020.09430.055
Этап 6