Конечная математика Примеры

График y=e^(-x)* натуральный логарифм от x
y=e-xln(x)y=exln(x)
Этап 1
Найдем асимптоты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем, где выражение e-xln(x)exln(x) не определено.
x0x0
Этап 1.2
Поскольку e-xln(x)exln(x) как xx00 слева, а e-xln(x)exln(x)- как xx00 справа, то x=0x=0 — вертикальная асимптота.
x=0x=0
Этап 1.3
Вычислим limxe-xln(x)limxexln(x), чтобы определить горизонтальную асимптоту.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Перепишем e-xln(x)exln(x) в виде ln(x)exln(x)ex.
limxln(x)exlimxln(x)ex
Этап 1.3.2
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
limxln(x)limxex
Этап 1.3.2.1.2
Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к .
limxex
Этап 1.3.2.1.3
Поскольку показатель степени x стремится к , величина ex стремится к .
Этап 1.3.2.1.4
Деление бесконечности на бесконечность не определено.
Неопределенные
Этап 1.3.2.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
limxln(x)ex=limxddx[ln(x)]ddx[ex]
Этап 1.3.2.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
limxddx[ln(x)]ddx[ex]
Этап 1.3.2.3.2
Производная ln(x) по x равна 1x.
limx1xddx[ex]
Этап 1.3.2.3.3
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что ddx[ax] имеет вид axln(a), где a=e.
limx1xex
limx1xex
Этап 1.3.2.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
limx1x1ex
Этап 1.3.2.5
Умножим 1x на 1ex.
limx1xex
limx1xex
Этап 1.3.3
Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь 1xex стремится к 0.
0
0
Этап 1.4
Перечислим горизонтальные асимптоты:
y=0
Этап 1.5
У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.
Нет наклонных асимптот
Этап 1.6
Это множество всех асимптот.
Вертикальные асимптоты: x=0
Горизонтальные асимптоты: y=0
Вертикальные асимптоты: x=0
Горизонтальные асимптоты: y=0
Этап 2
Найдем точку в x=1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Заменим в этом выражении переменную x на 1.
f(1)=e-(1)ln(1)
Этап 2.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Умножим -1 на 1.
f(1)=e-1ln(1)
Этап 2.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(1)=1eln(1)
Этап 2.2.3
Натуральный логарифм 1 равен 0.
f(1)=1e0
Этап 2.2.4
Умножим 1e на 0.
f(1)=0
Этап 2.2.5
Окончательный ответ: 0.
0
0
Этап 2.3
Преобразуем 0 в десятичное представление.
y=0
y=0
Этап 3
Найдем точку в x=2.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Заменим в этом выражении переменную x на 2.
f(2)=e-(2)ln(2)
Этап 3.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Умножим -1 на 2.
f(2)=e-2ln(2)
Этап 3.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(2)=1e2ln(2)
Этап 3.2.3
Объединим 1e2 и ln(2).
f(2)=ln(2)e2
Этап 3.2.4
Окончательный ответ: ln(2)e2.
ln(2)e2
ln(2)e2
Этап 3.3
Преобразуем ln(2)e2 в десятичное представление.
y=0.09380727
y=0.09380727
Этап 4
Найдем точку в x=3.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную x на 3.
f(3)=e-(3)ln(3)
Этап 4.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Умножим -1 на 3.
f(3)=e-3ln(3)
Этап 4.2.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней b-n=1bn.
f(3)=1e3ln(3)
Этап 4.2.3
Объединим 1e3 и ln(3).
f(3)=ln(3)e3
Этап 4.2.4
Окончательный ответ: ln(3)e3.
ln(3)e3
ln(3)e3
Этап 4.3
Преобразуем ln(3)e3 в десятичное представление.
y=0.05469668
y=0.05469668
Этап 5
График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке x=0 и точек (1,0),(2,0.09380727),(3,0.05469668).
Вертикальная асимптота: x=0
xy1020.09430.055
Этап 6
 [x2  12  π  xdx ]