Конечная математика Примеры

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ не определено.

$x \leq - 5, x = 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ слева, а $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 5$ справа, то $x = - 5$ — вертикальная асимптота.

$x = - 5$

Этап 1.3

Поскольку $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 5, 0$

Этап 1.5

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Этап 1.7

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.8

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 5, 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = - 5, 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $5 \ln (1 + 5)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Этап 2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Этап 2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $1$ и $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Этап 2.2.3.2

Возведем $6$ в степень $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Этап 2.2.4

Разделим $\ln (7776)$ на $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (7776)$ в десятичное представление.

$y = 8.95879734$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $5 \ln (2 + 5)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Добавим $2$ и $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $7$ в степень $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Этап 3.2.4

Перепишем $\frac{\ln (16807)}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Этап 3.2.5

Упростим $\frac{1}{4} \ln (16807)$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ в десятичное представление.

$y = 2.43238768$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $5 \ln (3 + 5)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $3$ и $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $8$ в степень $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Этап 4.2.4

Перепишем $\ln (32768)$ в виде $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Этап 4.2.5

Развернем $\ln (2^{15})$ , вынося $15$ из логарифма.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $15$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Этап 4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Этап 4.2.7

Упростим $5 \ln (2)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Этап 4.2.8

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Этап 4.2.9

Перепишем $\frac{\ln (32)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Этап 4.2.10

Упростим $\frac{1}{3} \ln (32)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.2.11

Окончательный ответ: $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ в десятичное представление.

$y = 1.1552453$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - 5, 0$ и точек $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Этап 6