Конечная математика Примеры

y = \frac{5 ln (x + 5)}{x^{2}}

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ не определено.

$x \leq - 5, x = 0$

Этап 1.2

Поскольку

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

$\to$

$\infty$ как

$x$

$\to$

$- 5$ слева, а

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

$\to$

$- \infty$ как

$x$

$\to$

$- 5$ справа, то

$x = - 5$ — вертикальная асимптота.

$x = - 5$

Этап 1.3

Поскольку

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

$\to$

$\infty$ как

$x$

$\to$

$0$ слева, а

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

$\to$

$\infty$ как

$x$

$\to$

$0$ справа, то

$x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 5, 0$

Этап 1.5

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где

$n$ — степень числителя, а

$m$ — степень знаменателя.

1. Если

$n < m$ , тогда ось x,

$y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если

$n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Если

$n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.6

Найдем

$n$ и

$m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Этап 1.7

Поскольку

$n < m$ , ось X,

$y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.8

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты:

$x = - 5, 0$

Горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Вертикальные асимптоты:

$x = - 5, 0$

Горизонтальные асимптоты:

$y = 0$

Этап 2

Найдем точку в

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим

$5 \ln (1 + 5)$ путем переноса

$5$ под логарифм.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Этап 2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Этап 2.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим

$1$ и

$5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Этап 2.2.3.2

Возведем

$6$ в степень

$5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Этап 2.2.4

Разделим

$\ln (7776)$ на

$1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ:

$\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Этап 2.3

Преобразуем

$\ln (7776)$ в десятичное представление.

$y = 8.95879734$

Этап 3

Найдем точку в

$x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим

$5 \ln (2 + 5)$ путем переноса

$5$ под логарифм.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Добавим

$2$ и

$5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Этап 3.2.3.2

Возведем

$7$ в степень

$5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Этап 3.2.4

Перепишем

$\frac{\ln (16807)}{4}$ в виде

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Этап 3.2.5

Упростим

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ путем переноса

$\frac{1}{4}$ под логарифм.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ:

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Этап 3.3

Преобразуем

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ в десятичное представление.

$y = 2.43238768$

Этап 4

Найдем точку в

$x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3$ .

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим

$5 \ln (3 + 5)$ путем переноса

$5$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим

$3$ и

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Этап 4.2.3.2

Возведем

$8$ в степень

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Этап 4.2.4

Перепишем

$\ln (32768)$ в виде

$\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Этап 4.2.5

Развернем

$\ln (2^{15})$ , вынося

$15$ из логарифма.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель

$15$ и

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Вынесем множитель

$3$ из

$15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Этап 4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Этап 4.2.7

Упростим

$5 \ln (2)$ путем переноса

$5$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Этап 4.2.8

Возведем

$2$ в степень

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Этап 4.2.9

Перепишем

$\frac{\ln (32)}{3}$ в виде

$\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Этап 4.2.10

Упростим

$\frac{1}{3} \ln (32)$ путем переноса

$\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.2.11

Окончательный ответ:

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.3

Преобразуем

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ в десятичное представление.

$y = 1.1552453$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке

$x = - 5, 0$ и точек

$(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Вертикальная асимптота:

$x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Этап 6