Конечная математика Примеры

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2.3

Разложим

x^{2} - 7 x + 12

$x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

12

$12$ , а сумма —

- 7

$- 7$ .

- 4, - 3

$- 4, - 3$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

(x - 4) (x - 3), 1

$(x - 4) (x - 3), 1$

Этап 3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$

Этап 4

Каждый член в

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ умножим на

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ на

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ .

\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель

(x - 4) (x - 3)

$(x - 4) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2

Развернем

$(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.2

Перенесем

$- 1$ влево от

$x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем

$- 1 x$ в виде

$- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим

$x$ на

$1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.5

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.2

Добавим

$- x$ и

$x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.3

Добавим

$x^{2}$ и

$0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Развернем

$(x - 4) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2.1.2

Перенесем

$- 3$ влево от

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим

$- 4$ на

$- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Этап 4.3.2.2

Вычтем

$4 x$ из

$- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Этап 4.3.4.2

Перенесем

$12$ влево от

$y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку

$x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Этап 5.2

Вычтем

$x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Этап 5.3

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения

$a = y - 1$ ,

$b = - 7 y$ и

$c = 12 y + 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим правило умножения к

$- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.2

Возведем

$- 7$ в степень

$2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.4

Умножим

$- 4$ на

$- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5

Развернем

$(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.2

Умножим

$y$ на

$y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1.2.1

Перенесем

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.2.2

Умножим

$y$ на

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.3

Умножим

$- 4$ на

$12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.4

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.5

Умножим

$12$ на

$4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.6

Умножим

$4$ на

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.2

Добавим

$- 4 y$ и

$48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.7

Вычтем

$48 y^{2}$ из

$49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$