Конечная математика Примеры

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Этап 2.3

Разложим $x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 2.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Этап 3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(x - 4) (x - 3)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ умножим на $(x - 4) (x - 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ на $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $(x - 4) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.2.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Развернем $(x - 4) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Этап 4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Этап 4.3.4.2

Перенесем $12$ влево от $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Этап 5.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Этап 5.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ и $c = 12 y + 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим правило умножения к $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.2

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5

Развернем $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.6.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.3

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.5

Умножим $12$ на $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.6.2

Добавим $- 4 y$ и $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.6.7

Вычтем $48 y^{2}$ из $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$