Конечная математика Примеры

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Этап 4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Этап 5

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Этап 6

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Этап 7

Перепишем $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Этап 8.2

Вычтем $e^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Этап 8.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1$ и $c = - e^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Этап 8.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Этап 9

Исключим решения, которые не делают $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ истинным.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 1.68830545 \dots$