Конечная математика Примеры

$z = \sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1} = z$

Этап 2

Решим относительно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{y^{2} - 1^{2}} = z$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} = z$

Этап 2.2

Вычтем $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{1 - x^{2}} = z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$1 - x^{2} = {(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})}^{2}$ в виде $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$1 - x^{2} = (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z \cdot z + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $z$ на $z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} + z (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} (- \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + 1 \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 4.3.1.3.1.3.2

Умножим $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ на $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + \sqrt{(y + 1) (y - 1)} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 4.3.1.3.1.3.3

Возведем $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ в степень $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 4.3.1.3.1.3.4

Возведем $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ в степень $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1} {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{1 + 1}$

Этап 4.3.1.3.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{(y + 1) (y - 1)}}^{2}$ в виде $(y + 1) (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ в виде ${((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {({((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 4.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 4.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + {((y + 1) (y - 1))}^{1}$

Этап 4.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + (y + 1) (y - 1)$

Этап 4.3.1.3.1.5

Развернем $(y + 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y (y - 1) + 1 (y - 1)$

Этап 4.3.1.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)$

Этап 4.3.1.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.6.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - y + y - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} + 0 - 1$

Этап 4.3.1.3.1.6.3

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z + y^{2} - 1$

Этап 4.3.1.3.2

Изменим порядок множителей в $- \sqrt{(y + 1) (y - 1)} z$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Этап 4.3.1.3.3

Вычтем $z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ из $- z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}$ .

$1 - x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 1 - 1$

Этап 5.1.2

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = z^{2} - 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} + y^{2} - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{z^{2}}{- 1} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{z^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot z^{2}$ в виде $- z^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + \frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} - 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ в виде $- (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)})$ .

$x^{2} = - z^{2} - (- 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 (z \sqrt{(y + 1) (y - 1)}) + \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.7

Перепишем $- 1 \cdot y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.2.3.1.8

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = - z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$

$x = - \sqrt{- z^{2} + 2 z \sqrt{(y + 1) (y - 1)} - y^{2} + 2}$