Конечная математика Примеры

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $128$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $2 x^{2} - 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$d = - 6$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{8}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $576$ на $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 72$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $72$ .

$e = 0 - 72$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $72$ из $0$ .

$e = - 72$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

Этап 1.3

Подставим $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ вместо $2 x^{2} - 24 x$ в уравнение $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

Этап 1.4

Перенесем $- 72$ в правую часть уравнения, прибавив $72$ к обеим частям.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} + 32 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{16}{4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $64$ .

$e = 0 - 64$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $64$ из $0$ .

$e = - 64$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Этап 1.6

Подставим $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ вместо $4 y^{2} + 32 y$ в уравнение $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

Этап 1.7

Перенесем $- 64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

Этап 1.8

Упростим $- 128 + 72 + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 128$ и $72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

Этап 1.8.2

Добавим $- 56$ и $64$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $8$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(6, - 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{4 - 2}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(6 + 2, - 4)$

Этап 6.3

Упростим.

$(8, - 4)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(6 - (2), - 4)$

Этап 6.6

Упростим.

$(4, - 4)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

Этап 7.3

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

Этап 7.5

Упростим.

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

Этап 8.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

Этап 8.3.4

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10