Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ к $0$ .

$x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Этап 2.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{4} - 33 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 60$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $4$ .

$1 - 33 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 60$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 33 \cdot 1 - 28 \cdot 1 + 60$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $- 33$ на $1$ .

$1 - 33 - 28 \cdot 1 + 60$

Этап 2.1.1.3.5

Вычтем $33$ из $1$ .

$- 32 - 28 \cdot 1 + 60$

Этап 2.1.1.3.6

Умножим $- 28$ на $1$ .

$- 32 - 28 + 60$

Этап 2.1.1.3.7

Вычтем $28$ из $- 32$ .

$- 60 + 60$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $- 60$ и $60$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60}{x - 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 32 x^{2} + 32 x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 60 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 60 x + 60$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$33 x^{2}$

$28 x$

$60$

$x^{4}$

$x^{3}$

$33 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x^{2}$

$28 x$

$32 x^{2}$

$32 x$

$60 x$

$60$

$60 x$

$60$

$0$

Этап 2.1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$

Этап 2.1.1.6

Запишем $x^{4} - 33 x^{2} - 28 x + 60$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 32 x - 60) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Этап 2.1.2.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 32 \cdot - 2 - 60$

Этап 2.1.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 32 \cdot - 2 - 60$

Этап 2.1.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 4 - 32 \cdot - 2 - 60$

Этап 2.1.2.3.4

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 - 32 \cdot - 2 - 60$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $- 32$ на $- 2$ .

$- 4 + 64 - 60$

Этап 2.1.2.3.6

Добавим $- 4$ и $64$ .

$60 - 60$

Этап 2.1.2.3.7

Вычтем $60$ из $60$ .

$0$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 32 x - 60}{x + 2}$

Этап 2.1.2.5

Разделим $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$32 x$

$60$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$

Этап 2.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 2.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$

Этап 2.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$

Этап 2.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 2.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

Этап 2.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$

Этап 2.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 30 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$

Этап 2.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							-	$30 x$	-	$60$

Этап 2.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 30 x - 60$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							+	$30 x$	+	$60$

Этап 2.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$30$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$32 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$32 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$60$
							+	$30 x$	+	$60$
										$0$

Этап 2.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 30$

Этап 2.1.2.6

Запишем $x^{3} + x^{2} - 32 x - 60$ в виде набора множителей.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 30)) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим $x^{2} - x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разложим $x^{2} - x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разложим $x^{2} - x - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $- 1$ .

$- 6, 5$

Этап 2.1.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x + 2) ((x - 6) (x + 5))) = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) ((x + 2) (x - 6) (x + 5)) = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 2) (x - 6) (x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 2.6

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) (x - 6) (x + 5) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 1$ (кратно $1$ )

$x = - 2$ (кратно $1$ )

$x = 6$ (кратно $1$ )

$x = - 5$ (кратно $1$ )

$x = 1$ (кратно $1$ )

$x = - 2$ (кратно $1$ )

$x = 6$ (кратно $1$ )

$x = - 5$ (кратно $1$ )

Этап 3