Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ к $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + 12 u - 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 45$ , а сумма — $12$ .

$- 3, 15$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим $- 8 u + u^{2} + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 2.1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = 5$ (кратно $1$ )

$x = 3$ (кратно $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = 5$ (кратно $1$ )

$x = 3$ (кратно $1$ )

Этап 3