Конечная математика Примеры

$y = 4 x^{2} + 6 x + 9$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 4 x^{2} + 6 x + 9$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ .

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = 4$ , $b = 6$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.5.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.6.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{4}$

Этап 1.2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 1.3

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

точки пересечения с осью x: $Нет$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \cdot 0^{2} + 6 (0) + 9$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$

Этап 2.2.3

Упростим $4 {(0)}^{2} + 6 (0) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 4 \cdot 0 + 6 (0) + 9$

Этап 2.2.3.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 0 + 6 (0) + 9$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 9$

Этап 2.2.3.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 9$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$y = 9$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $Нет$

Точки пересечения с осью y: $(0, 9)$

Этап 4