Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$

Этап 1

Разложим $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Этап 1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$f (x) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.4

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f (x) = 16 - 24 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.5

Вычтем $24$ из $16$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 4 + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.7

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f (x) = - 8 - 24 + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.8

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$f (x) = - 32 + 28 \cdot 2 - 24$

Этап 1.3.9

Умножим $28$ на $2$ .

$f (x) = - 32 + 56 - 24$

Этап 1.3.10

Добавим $- 32$ и $56$ .

$f (x) = 24 - 24$

Этап 1.3.11

Вычтем $24$ из $24$ .

$f (x) = 0$

Этап 1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24}{x - 2}$

Этап 1.5

Разделим $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 2 x^{3}$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 16 x$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x - 24$ .

$f (x) =$

Этап 1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$

Этап 1.6

Запишем $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 2) (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12)$

Этап 2

Разложим $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Этап 2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Этап 2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (x) = 8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Этап 2.3.5

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (x) = 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Этап 2.3.6

Умножим $- 8$ на $2$ .

$f (x) = 4 - 16 + 12$

Этап 2.3.7

Вычтем $16$ из $4$ .

$f (x) = - 12 + 12$

Этап 2.3.8

Добавим $- 12$ и $12$ .

$f (x) = 0$

Этап 2.4

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x - 2}$

Этап 2.5

Разделим $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

$f (x) =$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - 2 x$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x + 12$ .

$f (x) =$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{2} + x - 6$

Этап 2.6

Запишем $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x^{2} + x - 6))$

Этап 3

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + i x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $i$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$f (x) = - 2, 3$

Этап 3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) ((x - 2) (x + 3)))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Этап 4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Этап 4.1.2

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Этап 4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 3))$

Этап 4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{2} (x + 3))$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x - 2) {(x - 2)}^{2} (x + 3)$

Этап 5

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 2} (x + 3)$

Этап 5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x) = {(x - 2)}^{3} (x + 3)$