Конечная математика Примеры

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1$

Этап 1

Упростим и упорядочим многочлен в порядке убывания, чтобы использовать правило Декарта.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $2 p^{2} w$ .

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Этап 1.2

Изменим порядок $- 18 p^{5}$ и $12 p^{5} w^{5}$ .

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Этап 2

Чтобы найти возможное количество положительных корней, обратим внимание на знаки коэффициентов и подсчитаем, сколько раз коэффициенты меняют знак.

$f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Этап 3

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $3$ , максимальное число положительных корней равно $3$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $(3 - 2)$ ).

Положительные корни: $3$ или $1$

Этап 4

Чтобы найти возможное количество отрицательных корней, заменим $p$ на $- p$ и снова сравним знаки.

$f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $- p$ .

$f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- p) = 12 (- p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 ({(- 1)}^{5} p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.5

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 (- p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.6

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.7

Применим правило умножения к $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 ({(- 1)}^{3} p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 (- p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.9

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Этап 5.10

Применим правило умножения к $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} p^{2}) w - 1$

Этап 5.11

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 (1 p^{2}) w - 1$

Этап 5.12

Умножим $p^{2}$ на $1$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Этап 6

Поскольку число перемен знака членов от высшего порядка до низшего равно $2$ , максимальное число отрицательных корней равно $2$ (правило знаков Декарта). Другие возможные количества отрицательных корней находятся путем вычитания пар корней (например, $2 - 2$ ).

Отрицательные корни: $2$ или $0$

Этап 7

Возможное количество положительных корней равно $3$ или $1$ , а возможное количество отрицательных корней ― $2$ или $0$ .

Положительные корни: $3$ или $1$

Отрицательные корни: $2$ или $0$