Конечная математика Примеры

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Этап 3

Подставим $4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4$ в многочлен.

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Этап 3.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Этап 3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$64 - 8 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 20$

Этап 3.4

Умножим $- 8$ на $16$ .

$64 - 128 + 21 \cdot 4 - 20$

Этап 3.5

Вычтем $128$ из $64$ .

$- 64 + 21 \cdot 4 - 20$

Этап 3.6

Умножим $21$ на $4$ .

$- 64 + 84 - 20$

Этап 3.7

Добавим $- 64$ и $84$ .

$20 - 20$

Этап 3.8

Вычтем $20$ из $20$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $4$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 4$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20}{x - 4}$

Этап 5

Разделим $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$21 x$

$20$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 16 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 20$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 5$

Этап 6

Запишем $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ в виде набора множителей.

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 5)$