Конечная математика Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 18 x + 81} + \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 18 x + 9^{2}} + \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}} + \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 9$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{2}} + \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 2

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(x + 9)}^{2}, x^{2}$

Этап 3

Since ${(x + 9)}^{2}, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Этапы поиска НОК для ${(x + 9)}^{2}, x^{2}$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{2}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части ${(x + 9)}^{2}$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 4

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 8

НОК $x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 10

Множители $x + 9$ — это $(x + 9) \cdot (x + 9)$ , то есть $x + 9$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(x + 9) = (x + 9) \cdot (x + 9)$

$(x + 9)$ встречается $2$ раз.

Этап 11

НОК ${(x + 9)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(x + 9)}^{2}$

Этап 12

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x^{2} {(x + 9)}^{2}$