Конечная математика Примеры

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 11 + 12} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 y - 15}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $11$ и $12$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 y - 15}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 y$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} - 7 (y) - 15}$

Этап 1.2.1.2

Запишем $- 7$ как $3$ плюс $- 10$

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} + (3 - 10) y - 15}$

Этап 1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{2 y^{2} + 3 y - 10 y - 15}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{(2 y^{2} + 3 y) - 10 y - 15}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{y (2 y + 3) - 5 (2 y + 3)}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 3$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)}$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} \cdot \frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$ .

$\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23} \cdot \frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)} \cdot \frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 y^{2} + 23) (2 y + 3) (y - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{y - 8}{2 y^{2} + 23}$ на $\frac{(2 y + 3) (y - 5)}{(2 y + 3) (y - 5)}$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))} - \frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)} \cdot \frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{y + 6}{(2 y + 3) (y - 5)}$ на $\frac{2 y^{2} + 23}{2 y^{2} + 23}$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(2 y^{2} + 23) ((2 y + 3) (y - 5))$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(2 y + 3) (y - 5) (2 y^{2} + 23)$ .

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5))}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)} - \frac{(y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(y - 8) ((2 y + 3) (y - 5)) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(y - 8) (2 y + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y (2 y + 3) - 8 (2 y + 3)) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y (2 y) + y \cdot 3 - 8 (2 y + 3)) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(y (2 y) + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(2 y \cdot y + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{(2 (y \cdot y) + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{(2 y^{2} + y \cdot 3 - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 \cdot y - 8 (2 y) - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 y - 16 y - 8 \cdot 3) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{(2 y^{2} + 3 y - 16 y - 24) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.2.2

Вычтем $16 y$ из $3 y$ .

$\frac{(2 y^{2} - 13 y - 24) (y - 5) - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.3

Развернем $(2 y^{2} - 13 y - 24) (y - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{2 y^{2} y + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перенесем $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y^{2}) + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{2 (y^{1} y^{2}) + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y^{1 + 2} + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 y^{3} + 2 y^{2} \cdot - 5 - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y \cdot y - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.3

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем $y$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 (y \cdot y) - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} - 13 y \cdot - 5 - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.4

Умножим $- 5$ на $- 13$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} + 65 y - 24 y - 24 \cdot - 5 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.4.5

Умножим $- 24$ на $- 5$ .

$\frac{2 y^{3} - 10 y^{2} - 13 y^{2} + 65 y - 24 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.5

Вычтем $13 y^{2}$ из $- 10 y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 65 y - 24 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.6

Вычтем $24 y$ из $65 y$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - (y + 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 + (- y - 1 \cdot 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 + (- y - 6) (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.9

Развернем $(- y - 6) (2 y^{2} + 23)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2} + 23) - 6 (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2} + 23)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - y (2 y^{2}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y \cdot y^{2} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 (y^{2} y) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.2.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 (y^{2} y^{1}) - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y^{2 + 1} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 1 \cdot 2 y^{3} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - y \cdot 23 - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.4

Умножим $23$ на $- 1$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 6 (2 y^{2}) - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 12 y^{2} - 6 \cdot 23}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.10.6

Умножим $- 6$ на $23$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 41 y + 120 - 2 y^{3} - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.11

Вычтем $2 y^{3}$ из $2 y^{3}$ .

$\frac{- 23 y^{2} + 41 y + 120 + 0 - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.12

Добавим $- 23 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 23 y^{2} + 41 y + 120 - 23 y - 12 y^{2} - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.13

Вычтем $12 y^{2}$ из $- 23 y^{2}$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 41 y + 120 - 23 y - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.14

Вычтем $23 y$ из $41 y$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 18 y + 120 - 138}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 6.15

Вычтем $138$ из $120$ .

$\frac{- 35 y^{2} + 18 y - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 35 y^{2}$ .

$\frac{- (35 y^{2}) + 18 y - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $18 y$ .

$\frac{- (35 y^{2}) - (- 18 y) - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (35 y^{2}) - (- 18 y)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y) - 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.4

Перепишем $- 18$ в виде $- 1 (18)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y) - 1 (18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (35 y^{2} - 18 y) - 1 (18)$ .

$\frac{- (35 y^{2} - 18 y + 18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перепишем $- (35 y^{2} - 18 y + 18)$ в виде $- 1 (35 y^{2} - 18 y + 18)$ .

$\frac{- 1 (35 y^{2} - 18 y + 18)}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$

Этап 7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{35 y^{2} - 18 y + 18}{(2 y + 3) (2 y^{2} + 23) (y - 5)}$