Конечная математика Примеры

$\frac{x - 5}{6 x^{2} - x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 1 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x - 5}{6 x^{2} - (x) - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1.1.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$\frac{x - 5}{6 x^{2} + (2 - 3) x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 5}{6 x^{2} + 2 x - 3 x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x - 5}{(6 x^{2} + 2 x) - 3 x - 1} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x - 5}{2 x (3 x + 1) - (3 x + 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 x$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 15 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 15$ как $- 1$ плюс $- 14$

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} + (- 1 - 14) x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{2 x^{2} - 1 x - 14 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x^{2} - 1 x) - 14 x + 7} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{x (2 x - 1) - 7 (2 x - 1)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ , а сумма — $b = - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 20$ из $- 20 x$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} - 20 x - 7}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 20$ как $1$ плюс $- 21$

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + (1 - 21) x - 7}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + 1 x - 21 x - 7}$

Этап 3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{3 x^{2} + x - 21 x - 7}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{(3 x^{2} + x) - 21 x - 7}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{x (3 x + 1) - 7 (3 x + 1)}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$\frac{x - 5}{(3 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x}{(2 x - 1) (x - 7)} + \frac{x + 1}{(3 x + 1) (x - 7)}$

Этап 4

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(3 x + 1) (2 x - 1), (2 x - 1) (x - 7), (3 x + 1) (x - 7)$

Этап 5

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 8

Множителем $3 x + 1$ является само значение $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 9

Множителем $2 x - 1$ является само значение $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 10

Множителем $x - 7$ является само значение $x - 7$ .

$(x - 7) = x - 7$

$(x - 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 11

Множителем $3 x + 1$ является само значение $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 12

Множителем $x - 7$ является само значение $x - 7$ .

$(x - 7) = x - 7$

$(x - 7)$ встречается $1$ раз.

Этап 13

НОК $3 x + 1, 2 x - 1, 2 x - 1, x - 7, 3 x + 1, x - 7$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (x - 7)$